28.02.2012 - Георги Граховси - ИЯИЯЕ

 Многокомпонентни солитонни уравнения над симетрични пространства: алгебрични и спектрални свойства

В настоящия доклад ще бъде направен кратък обзор на два класа от нелинейни еволюционни уравнения, свързани със симетрични пространства:

Първият клас от уравнения се описва с помощта на Лаксова двойка, принадлежаща на симетрични пространства от тип BD.I (по класификацията на Картан). Съответните уравнения на движение, в едномерно приближение, представляват интегрируеми случаи на известните уравнения на Грос-Питаевский, описващи динамиката на спинорни кондензати на Бозе-Айнщайн.

Вторият клас от уравнения е свързан със симетрични пространства от типа A.III, като върху асоциираната спектрална задача са наложени допълнителни редукции. На това съответстват системи от нелинейни еволюционни уравнения с оператор на Лакс
(отговарящ за еволюцията по времето) полиномиален (или рационален) по отношение на спектралния параметър. Този клас модели съдържа многокомпонентни (Z2-градуирани) обобщеение на уравнението на феромагнетика на Хайзенберг.

За двата класа уравнения е построено явно изображението между потенциала и данните на разсейване, с помощта на т.нар. "Вронскиански съотношения". Получeни са, също така, и съотношения за пълнота на "квадратите на решенията"(обобщените експоненти). На тази основа са получени разлаганията на потенциала  и на неговата вариация . Това дава основа на интерпретацията на метода на обратната задача на разсейване като обобщена трансформаиця на Фурие.

Специално внимание е отделено на чувствителността на спектралните свойства на операторите на Лакс от избора на представяне на съответната алгебра на Ли.